有理函数的积分拆分方法

有理函数的积分可以通过拆分方法简化计算过程。以下是拆分有理函数积分的基本步骤和原则：

步骤

1. 因式分解分母 ：

将有理函数的分母多项式 \\（ Q_m（x） \\） 因式分解，得到其一次和多次因式的乘积形式。

2. 拆分有理函数 ：

将分子多项式 \\（ P_n（x） \\） 与分解后的分母因式相除，得到若干最简有理分式之和。

3. 积分 ：

对拆分后的每个最简有理分式分别进行积分。

拆分原则

真分式拆分 ：

确保拆分后的分式为真分式，即分子次数小于分母次数。

分母最高次项系数为1 ：

如果分母最高次项系数不为1，需要先将其化为1，再进行拆分。

例子

考虑积分 \\（ \\int \\frac{x^2 + 1}{x^3 - x} \\mathrm{d} x \\）。

1. 因式分解分母 ：

\\（ x^3 - x = x（x^2 - 1） = x（x - 1）（x + 1） \\）

2. 拆分有理函数 ：

\\（ \\frac{x^2 + 1}{x^3 - x} = \\frac{x^2 + 1}{x（x - 1）（x + 1）} \\）

这个分式不能直接分解为简单的有理分式之和，因此需要使用其他方法，如待定系数法或部分分式分解法。

方法选择

待定系数法 ：

设定部分分式的形式，通过比较系数确定未知数。

部分分式分解法 ：

将分式分解为若干部分分式之和，然后对每个部分分式积分。

注意

当分母有重根或复数根时，拆分方法会有所不同，需要根据具体情况处理。

拆分过程中应保证分式的正确性，即分子和分母的次数匹配。

通过上述步骤和原则，可以将复杂的有理函数积分转化为较简单的形式，进而求出其原函数。

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